Beroemd nummer gevonden verborgen in het waterstofatoom

Driehonderdzestig jaar geleden baseerde de Britse wiskundige John Wallis een ongebruikelijke formule voor, het beroemde nummer dat nooit eindigt. Vreemd genoeg heeft een paar natuurkundigen ontdekt dat dezelfde formule naar voren komt uit een routinematige berekening in de fysica van het waterstofatoom het eenvoudigste atoom dat er is. Maar voordat u op zoek gaat naar een kosmische verbinding of kristallen koopt, moet u ontspannen: er is waarschijnlijk geen diepe betekenis voor het deel van uit de kwantumberekening.

Gedefinieerd als de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter, is een van de vreemdere getallen die gaan. De decimale weergave, 3.14159265358979, eindigt nooit en herhaalt zich nooit. En kan worden vastgelegd in veel verschillende formules. In 1655 ontdekte Wallis bijvoorbeeld dat kan worden geschreven als het product van een oneindig aantal vermenigvuldigingen samen: / 2 = (2/1 * 2/3) * (4/3 * 4/5 ) * (6/5 * 6/7) * (8/7 * 8/9) *

Het afleiden van die formule was niet gemakkelijk voor Wallis, zegt Tamar Friedmann, een wiskundige en natuurkundige aan de Universiteit van Rochester (U of R) in New York. Grofweg begon hij met het overwegen van de verhouding van de gebieden van een cirkel en een vierkant dat het omschrijft, wat blijkt / 4, legt ze uit. Wallis heeft een manier gevonden om deze verhouding te schrijven in termen van oneindige bedragen, zoals 1 + 2 3 +3 3 +4 3 + Na pagina's met rekenen kon hij de bedragen vervangen door het product en zijn beroemde formule bereiken . Wiskundigen hebben sindsdien eenvoudiger manieren gevonden om het af te leiden met behulp van technieken uit de waarschijnlijkheidstheorie, combinatoriek en trigonometrie.

Nu hebben Friedmann en Carl Hagen, een theoretisch fysicus aan de U of R in New York, een verrassend gemakkelijke manier gevonden om de formule af te leiden met behulp van een drie pagina's tellende berekening met het waterstofatoom. Het waterstofatoom bestaat uit een enkel negatief geladen elektron gebonden aan een enkel positief geladen proton. Volgens de kwantummechanica omcirkelt het elektron niet het proton zoals de maan de aarde omcirkelt, maar neemt het in plaats daarvan wolkachtige orbitalen in beslag die de kans geven het elektron hier of daar te vinden. Elke baan heeft een verschillende energie.

In hun berekening, die deze week werd gepubliceerd in het Journal of Mathematical Physics, gebruiken de onderzoekers een techniek die het variatieprincipe wordt genoemd om een ​​bovengrens te bepalen voor de energie van elke baan. Ze vergelijken die schatting met de exacte energie voor de baan, die kan worden afgeleid uit een meer nauwkeurige berekening. Hagen had dit probleem in de kwantummechanica-klasse toegewezen en had ontdekt dat de geschatte waarde de exacte waarde voor hogere energietoestanden nader benaderde. Dat was vreemd, zegt Friedmann, omdat benaderingen meestal beter werken voor lagere energietoestanden.

Friedmann bewees dat voor orbitalen waarin het elektron rond de kern suist met veel "hoekmomentum", de verhouding van de geschatte en exacte energieën kan worden herschreven als de verhouding van dingen die gammafuncties worden genoemd. Naarmate het hoekmoment toeneemt, versmalt de verhouding van gammafuncties bij 1, wat de effectiviteit van de benadering verklaart. Bovendien geeft een van die gamma-functies de waarde, terwijl de andere herschreven kunnen worden als het product van verhoudingen in de Wallis-formule. Dus met een beetje herschikken valt de Wallis-formule eruit. "Ik was helemaal verrast", zegt Friedmann. "Ik was er helemaal niet naar op zoek."

De opkomst van de formule duidt waarschijnlijk niet op iets diepgaands over de kwantumtheorie, waarschuwt Bruno Nachtergaele, een wiskundig natuurkundige aan de Universiteit van Californië, Davis, en redacteur van het tijdschrift waarin de krant werd gepubliceerd. "Je hebt het recht om hier blij mee te zijn", zegt hij, "maar je moet niet te diep zoeken naar betekenis." De opkomst van de formule heeft misschien meer te maken met de eigenschappen van gammafuncties dan de fysica van het waterstofatoom, zegt Nachtergaele. Speciale functies zoals gamma-functies kunnen vaak op veel manieren worden uitgeschreven, zoals bedragen, producten, integralen, enz., Zegt Nachtergaele, dus het is mogelijk dat de analyse van Friedmann en Hagen ook tot andere opmerkelijke formules kan leiden.